LA MISURAZIONE.  CONSIDERAZIONI GENERALI

 

Gianfranco Fabbri

 

I nostri sensi, come tali, percepiscono nella loro immediatezza il reale sotto la forma di un “confuso” sotto la forma cioè di elementi o grappoli di elementi i quali, già di per se opachi, sono tra loro collegati in maniera complessa, frammentaria, e mal definita.  In certi particolari casi queste sensazioni si sviluppano invece in una forma particolarmente brillante, e si concretizzano in vividi e lucidi atti di intuizione.  Essi costituiscono il substrato di ogni attività artistica, di quel settore del pensiero cioè che rende in modo immediato l’uomo profondamente cosciente di alcuni momenti della realtà di cui egli è parte; ciò appunto come frutto d’intuizione immediata, fuori cioè da ogni processo razionale.  Questi sono, in effetti, i punti a cui conducono spontaneamente ed immediatamente i nostri sensi, ed infatti, non a caso, Göthe in polemica con gli scienziati (o, meglio, con il metodo scientifico che a quell’epoca si stava delineando), affermava che per comprendere veramente la natura  ad es. di un temporale è necessario uscire e rimanere all’aperto sotto la pioggia scrosciante, tra il sibilar del vento e lo schiantar dei fulmini.  Certo, non vi è dubbio, così operando quel certo particolare fenomeno naturale si rende ampiamente e vividamente manifesto allo spettatore nella sua più cruda realtà; una tale esperienza potrà anche portare alla produzione di un pregevole fatto artistico, ma non potrà mai rappresentare la base di un contesto dal quale tracciare una descrizione in termini razionali del fenomeno, classificare i vari elementi che lo definiscono, ecc. così da poter formulare ad es. elementi di predizione.

 

Se, in effetti, una buona bagnata può anche rappresentare la base per la creazione di una buona opera d’arte, la definizione dello stesso fenomeno in termini scientifici richiede di prender coscienza dei fatti in maniera del tutto differente: si richiede cioè una metodologia di presa di coscienza del reale, tale da non fornire il “confuso” di cui si è detto, dal quale, di tanto in tanto, emergono vividi e brillanti picchi, quasi sempre però tra loro isolati ed assai lontani.  Questi picchi ci pongono in un intenso rapporto con ristrette isole del reale, ma ciò che richiede la scienza è la visione di una mappa dettagliata di squarci quanto più ampi che si aprono nel “confuso”, mappa nella quale ogni particolare trova una sua collocazione ed un suo, significato ben preciso.  L’attuale sviluppo della scienza richiede che dalle nebbie del “confuso” appaiano quindi squarci all’interno dei quali siano riconoscibili “mappe” chiare, definite e contrastate di territori di conoscenza di una certa ampiezza, anche se privi di quel sen so di splendore e di vividezza che è caratteristico dei settori specifici dell’arte; questa visione della natura della conoscenza scientifica consente un preciso inquadramento del termine “interdisciplinarità” sul quale da tempo si discute, senza giungere a precise definizioni operative.  Penso che esso possa rappresentare un fattore di sempre maggiore importanza nella ricerca pedagogica dei prossimi anni, quale elemento di unificazione di quei settori che attualmente appaiano come “squarci” isolati del “confuso”.

 

L’impianto della conoscenza scientifica si basa, in primo luogo, su una metodologia d’osservazione “standardizzata”, così che l’osservazione compiuta da ogni osservatore, possieda la caratteristica della universalità.  È proprio di ciò che ci occuperemo in questa sede, in quanto questa metodologia rappresenta il fattore di base della conoscenza scientifica.  È subito da rilevare che in relazione ai fenomeni osservati questa metodologia d’osservazione e di valutazione dei dati assume aspetti differenti.  Alcuni fatti si prestano nella pratica come adatti ad essere classificati, altri ad essere sottoposti a procedimenti comparativi,altri ancora ad essere sottoposti  ad una vera e propria misurazione.  Senza entrare a questo punto nel dettaglio del problema, sembra però importante già fin d’ora ricordare, con Carnap [1], in relazione al problema della misurazione, che “siamo noi che assegniamo numeri alla natura, dato che i fenomeni esibiscono solo qualità che osserviamo.  Tutto ciò che è numerico, eccettuati i numeri cardinali che possono essere correlati agli aspetti discreti, è introdotto da noi durante la costruzione della procedura per la misurazione”.

 

Classificazione

La classificazione rappresenta un primo metodo di ordinamento del “confuso” naturale.  Questa metodologia viene applicata sia a fatti per i quali l’applicazione di procedimenti più complessi comporterebbe una eccessiva elaborazione rispetto ai  frutti che ne seguirebbero, sia a fenomeni ai quali, appena rilevati, si desidera dare una prima sistemazione di forma molto semplice, sia infine ad insiemi che si prestano ad essere sottoposti a questa sola forma di elaborazione; infatti la classificazione rappresenta l’unico procedimento applicabile per certi scopi nei quali debbono essere classificati più para metri contemporaneamente.  Ad es. alla classe dei volatili gialli con peso superiore a 400 g e con becco di lunghezza inferiore a 7 cm può esse re applicato solo un processo di classificazione, cioè di incasellamento dei suoi elementi in una certa classe; altri metodi di valutazione possono essere applicati ad ognuno dei parametri considerati (resistenza al volo, intensità del colore giallo, peso, lunghezza del becco), ma spesso i dati che così se ne ricaverebbero risulterebbero privi di interesse in quanto la classificazione, considerando contemporaneamente tutta una serie di parametri, ci fornisce l’ente in considerazione per così dire nella sua globalità.  Con la classificazione vengono dunque create “classi” alle quali so no assegnati eventi od oggetti.  Esiste ad es. la classe degli animali e quella dei vegetali ed in essa vengono inserite rispettivamente nella prima gatti, cani, cavalli, volatili ecc., nella seconda le piante dei vari tipi.

 

Ogni classe può essere di varia ampiezza, ed abbiamo così classificazioni più rozze o più raffinate.  Al limite, la classificazione più rozza è quella che suddivide la realtà in due classi, quella degli enti esistenti e quella degli enti inesistenti.  La prima classe contiene tutto il reale, la seconda rappresenta una classe “vuota” in quanto non contiene alcun elemento.  È chiaro che una classificazione di questo tipo, pur rispettando nel lato formale i principi della classificazione, non presenta alcun valore sul piano euristico in quanto il suo potere di “risoluzione” dei fatti è nullo.  In effetti, il numero e l’ampiezza delle classi che costituiscono il sistema di classificazione è un elemento di grande importanza nel definire il valore della classificazione stessa in quanto essi definiscono la capacità di risoluzione del sistema e quindi la quantità d’informazione che esso può fornire.  Questi due parametri (numero ed ampiezza delle classi) sono in stretta relazione con le funzioni della classificazione.  Consideriamo ad es. due possibilità di classificazione di strumenti per la misurazione del tempo.  Una prima può servire per valutare gli strumenti ai fini di uso comune (i comuni orologi).  Essa richiede classi piuttosto ristrette in riferimento alla “carrozzeria dello strumento” (d’oro, d’argento, d’acciaio, grande piccolo, incastonato di diamanti, ecc.) mentre  le classi possono essere piuttosto ampie riguardo alle caratteristiche tecniche.  Una seconda classificazione può invece riferirsi a strumenti da utilizzare per scopi tecnici o scientifici ed in tal caso le classi debbono essere assai ristrette rispetto alle caratteristiche tecniche mentre quelle relative alla “carrozzeria” possono neppure esistere in quanto il parametro è in genere predeterminato dalla tecnica dello strumento.  Osserviamo infine che, nella realtà, classifichiamo non gli eventi e gli oggetti ma le parole che noi poniamo al loro posto con tutte le difficoltà e gli equivoci che il fatto comporta.

 

Comparazione

I processi comparativi, che precedono in linea logica, quelli più propriamente quantitativi della misurazione, pongono in relazione tra loro i fatti e gli oggetti rispetto a una loro particolare specifica proprietà.  Si comparano quindi proprietà e non fatti o oggetti.  Ritornando all’esempio dei volatili gialli, la classificazione considera gli elementi in una loro “quasi visione globale” (molte proprietà accomuna te insieme) mentre una comparazione investirà una di queste proprietà come ad es. le capacità di volo, l’intensità del loro colore giallo, il loro peso, la lunghezza del loro becco ecc.  Un procedimento di comparazione richiede il poter disporre di una precisa distinta metodologia che consenta la valutazione sia dell’uguaglianza (E) sia nella disuguaglianza (M) (in termini di maggiore o minore) della proprietà in considerazione sulla serie di eventi o oggetti in esame.  Nel caso che la proprietà in esame sia rappresentata ad es. dal peso, la classificazione richiede l’uso di una bilancia a piatti (ma non quello di una pesiera) sui quali piatti porre via via gli oggetti da comparare.  Nel caso di equilibrio si avrà uguaglianza (E), in caso contrario un oggetto avrà un peso minore (M) dell’altro.  Se la rilevazione empirica delle relazioni E e M (che sono di natura qualitativa e non quantitativa), ci permette di comparare rispetto ad una certa proprietà, il processo compiuto su tutta una serie di enti o oggetti ci consente di ORDINARE questi in relazione alla proprietà in discussione.  

 

Più in generale, operando su ampia scala, ci sarà possibile ordinare non elementi singoli ma classi di equivalenza, porre cioè in un ordine crescente o decrescente, gruppi di elementi con relazione reciproca di eguaglianza rispetto alla proprietà considerata.  Si dirà allora che la classe dei nati nell’anno 1958 (per gli elementi della qua le vale la proprietà E) ha età inferiore (M) alla classe dei nati nell’anno 1957, e così via.  Non sempre un processo di comparazione è attuabile, e, anche se attuabile, non sempre fornisce risultati univoci ed obbiettivi.  Alcuni esempi possono chiarire la cosa.  Se desideriamo classificare e quindi ordinare, una serie di studenti sulla base, congiuntamente, del loro merito scolastico e delle loro condizioni economiche (come ad es. richiesto per la concessione del presalario) ci troviamo nella necessità di esprimere quantitativamente uno dei parametri in termini dell’altro.  Il fattore di conversione è, per la natura del problema, indefinito e ciò ci porta ad una completa arbitrarietà nella classificazione.  Ancora, una comparazione di una serie di colori risulta non significativa senza una precisa definizione della natura della luce.  Infatti se è facile stabilire un metodo per definire l’eguaglianza di due colori, la valutazione di maggiore o minore (M) risulta del tutto arbitraria senza questa definizione.

 

Misurazione

Misurare significa definire in termini numerici proprietà di enti ed oggetti.  Ciò comporta la definizione di tutta una serie di convenzioni per standardizzare le modalità operative affinché il risultato possieda valore di universalità.  Le operazioni di misurazione possono essere suddivise nelle seguenti categorie:

1) Contare

2) Misure di proprietà intensiva

3) Misure di proprietà estensiva

4) Misure di lunghezza

5) Misure di tempo

 

Contare

L’operazione del contare ad es. oggetti, una delle più familiari tra le operazioni di misurazione, si riferisce alla determinazione del numero di enti discontinui esistenti in un sistema e si basa sull’uso dei numeri interi.  In effetti benché la operazione ci sembri a prima vista ovvia ed elementare, essa comporta sul piano psicologico, alcune problematiche alle quali accenniamo sommariamente.  Se osserviamo infatti un bambino che conta un insieme di oggetti, notiamo che l’operazione gli risulterà assai semplice se gli è possibile toccare uno per uno gli oggetti, e attribuire quindi un numero ad ogni atto del toccare.  In caso contrario l’operazione gli diviene assai difficoltosa fino a diventare impossibile se il numero di oggetti supera un valore minimo assai piccolo (notiamo che queste difficoltà non si presentano solo ai bambini).  In linea generale il fatto di contare oggetti si realizza allora nell’assegnare successivamente un numero non già ad ogni oggetto ma ad ogni atto del toccare (sia esso reale, accennato o semplicemente visivo) e pertanto il bambino deve essere iniziato a questa operazione fuori da ogni astrazione con una con creta presa di coscienza della realtà fisica di ciò che deve contare.

 

Misurare

Non sembra inutile osservare che, come per la comparazione, la misurazione si esegue su proprietà singole di enti ed oggetti e non sugli enti od oggetti nella loro globalità.  Risulta allora evidente che una misura ci darà informazioni o valutazioni rispetto ad una proprietà ma non ci dirà nulla riguardo alla natura dell’ente o dell’oggetto nella sua globalità.  Ciò posto, risulta necessario per poter giungere ad una soddisfacente standardizzazione degli enti materiali, suddividere le proprietà in due categorie che comportano convenzioni e modalità di misurazione tra loro diverse e cioè le proprietà intensive e le proprietà estensive.  In queste due categorie rientrano praticamente tutte le proprietà (dirette o derivate), tranne il tempo e per certi aspetti la lunghezza.  Le proprietà intensive sono quelle il cui valore non dipende dalla quantità di sostanza coinvolta nella misurazione.  Sono proprietà intensive la temperatura, la durezza, la densità, ecc.  Sono al contrario proprietà estensive quelle che dipendono dalla quantità di sostanza in considerazione.  Il peso, il volume, ecc. rappresentano esempi fa miliari di proprietà estensive.

 

Proprietà intensive

La misura della temperatura è l’esempio generalmente usato per il lustrare le convenzioni necessarie alla misura di una proprietà intensiva.  Useremo quindi anche noi per rimanere nella tradizione, questo esempio.  In primo luogo è necessario disporre di un procedimento di misurazione dell’eguaglianza (E) della grandezza, tale da indicarci quando due sistemi debbono considerarsi alla stessa temperatura.  Si richiede ancora una modalità di valutazione, di maggiore o minore (M) e con ciò ci troviamo ancora nell’ambito delle regole già viste nel caso della comparazione.  Applicando questi criteri compariamo quindi due sistemi rispetto alla temperatura.  Ciò posto, l’essenza quantitativa del procedimento sorge al momento in cui vengono definite le condizioni alle quali attribuire valore zero alla proprietà (ad es. ghiaccio fondente per la scala centigrada) e quelle alle quali alla proprietà stessa viene attribuito valore unitario (nella scala centigrada viene definita la condizione dell’acqua bollente come valore uguale a 100 volte l’unità).  Queste convenzioni, se accettate universalmente, consentono di affermare che due sistemi hanno temperatura 0° o 100° nella scala centigrada.  La possibilità di una valutazione quantitativa su tutto il campo sorge con la creazione di una scala e sulla definizione della sua forma.  Ciò ci consente in effetti di definire e riconoscere condizioni differenti di quelle considerate (0° o 100°) in termini della unità fissata.  Il problema della definizione della scala viene risolto nel caso della scala centigrada, dividendo in 100 parti uguali la zona compresa tra il punto del ghiaccio fondente e quello dell’acqua bollente.  Nella definizione della scala Fahrenheit le convenzioni rispetto all’unità e alla divisione della scala sono diverse, ma le due scale hanno in comune la proprietà di essere lineari.

 

Il problema della forma della scala rappresenta sul piano didattico, un punto importante: è infatti rilevante comprendere che la forma della scala rappresenta solo una convenzione, ma che essa è del tutto estranea al comportamento della sostanza nel campo di misura in considerazione.  È infatti facile far osservare intuitivamente che, ad es. nel caso dell’acqua, una variazione di temperatura di 1°C fra 0° e 1° e fra 1000° e 1001° non comporta variazioni comparabili nelle proprietà della sostanza.  Il caso dei cambiamenti di stato rappresenta un esempio limite, ma altamente illustrativo di questo problema.  Sinteticamente, quindi, la misura di una quantità intensiva richiede l’applicazione delle seguenti 5 regole (o convenzioni operative)

1) Definizione d’eguaglianza (E)

2) Definizione di minore o maggiore (M)

3) Definizione dello zero

4) Definizione dell’unità

5) Definizione della forma della scala

 

Proprietà estensive

Riprendendo quanto già accennato sono proprietà estensive quelle che dipendono (sono funzione) della quantità di sostanza in considerazione.  La definizione di una proprietà estensiva pone i seguenti problemi:

 

a) una definizione dell’unità di misura della proprietà;

b) la definizione della relazione esistente fra la quantità di sostanza e la proprietà in considerazione.  Nel caso particolare che questa relazione sia lineare la proprietà viene definita ADDITIVA.  (La combinazione dei punti a) e b) ci fornisce la forma della scala, mentre il punto b) assorbe la definizione di E e M necessari alla definizione di una proprietà intensiva).

c) la definizione delle condizioni in cui viene assunto lo zero del. la scala (generalmente lo zero viene assunto quando è zero la quantità di sostanza).

 

Formalmente, quindi, la definizione di una proprietà estensiva risulta assai più semplice di quella di una proprietà intensiva in quanto si basa su tre regole (che in genere si riducono a due) anziché su cinque.  La definizione del punto b) sopra specificato può comportare però spesso notevoli difficoltà perché può richiedere la applicazione di complessi metodi matematici.

 

Lunghezza

La lunghezza può essere definita come proprietà estensiva (e quindi va fatta rientrare nello schema precedente) sotto certe condizioni.

 

1) La misura di una lunghezza richiede la definizione di una unità di grandezza, e da ciò non ci si discorda nulla da uno dei requisiti già definiti per la proprietà estensiva.

2) La lunghezza è una proprietà estensiva di tipo additivo rispetto all’unità definita e si misura per applicazione successiva di unità della lunghezza dell’ente da misurare ponendole una adiacente all’altra e contandolo il loro numero.  (Non esistono quindi, di principio, relazioni fra quantità di una sostanza e sua lunghezza,ma solo un principio di additività rispetto all’unità di misura.  È noto che uguali quantità della stessa sostanza posso no avere lunghezze differenti: un kg di pane può essere un lungo filone oppure una pagnotta di forma rotondeggiante, di lunghezza assai minore).

3) Vale in genere il principio di additività fra lunghezze, ma se la lunghezza viene definita come la distanza minima fra due punti, la misura richiede allora lo svolgimento di considerazioni più complesse che coinvolgono altri parametri.  In questo caso l’additività non vale allora come principio generale.  La distanza fra gli estremi A e D di sue segmenti AB e CD ad esempio dipende in fatti in modo sostanziale dalla loro posizione reciproca, pur rimanendo i punti B e C adiacenti l’un l’altro, come può vedersi in figura.

 

Tempo

In quale modo definiamo la durata di un anno o di una giornata scolastica?  Qui non ci sono quantità di sostanza da porre in relazione con il tempo, e creare con ciò relazioni di additività, o unità di misura (regoli ecc.) da porre a contatto uno all’altra come per la misura di lunghezze, o definizioni di scale, unità, zeri, ecc. convenzionali legati alle proprietà di certe sostanze come per la misura della temperatura.  La durata di un anno dipende, convenzionalmente dal numero di volte che il sole scompare o, alternativamente, compare all’orizzonte, o dalle volte in cui il campanile della chiesa vicino a casa nostra suona la messa domenicale, o dalle volte in cui la mia cagnetta entra in calore.  Nel primo caso diremo che è lungo 365, nel secondo che è lungo 52, nel terzo che è lungo 2.  Analogamente la durata di una giornata scolastica può essere definita dal numero di volte che suona il campanello di fine ora, o di insegnanti, dal numero di volte che i ragazzi entrano o escono dall’aula (supponendo che ad una certa ora vi sia la possibilità di uscita per la ricreazione, ecc.).  In ognuna di queste ipotesi una giornata scolastica nella quale il campanello suona quattro volte vale quattro rispetto al campanello, due rispetto alle entrate o uscite dei ragazzi o un numero variabile da giorno a giorno in relazione al cambio degli insegnanti.

 

Si può allora in generale osservare che la valutazione del tempo è legata al realizzarsi di fenomeni periodici (il sorgere o il calare del sole, il suono della campana della messa domenicale, il calore della cagnetta, il suono del campanello della scuola, l’ingresso o l’uscita in aula o il cambio di in segnante).  Sembrerebbe allora ragionevole scegliere come riferimento fra tutti i fenomeni periodici naturali quello che presenta la periodicità più regolare, e ad esso ancorarsi per la definizione del tempo.  In effetti fino al 1964 era assunto come fenomeno periodico di riferimento la rotazione della terra; il riferimento in quell’anno fu abbandonata e sostituita con una frequenza dell'atomo di cesio.  Ciò posto, occorre però definire ciò che si intende per fenomeno periodico e per sua regolarità.  Solo su queste basi potremo decidere sulla questione della scelta del più regolare quale fenomeno di riferimento.

 

Un fenomeno periodico è, come noto, un fenomeno che si ripete più volte nel tempo.  Gli esempi sopra accennati ne sono una illustrazione.  La definizione della regolarità del. la periodicità, cioè del suo ripetersi ad intervalli quanto più tra loro eguali, presuppone però di disporre di un misuratore di tempo di riferimento (non compreso, cioè esterno al nostro schema) che consenta di misurare gli intervalli che intercorrono fra il ripetersi successivo degli eventi nei vari casi e verificare in quali casi questi intervalli sono tra loro più simili.  Ma questo mezzo di valutazione è proprio ciò che cerchiamo, ed il possederlo renderebbe inutile qualunque problematica sul tema.  Non ci è quindi allora possibile in nessun modo definire, in linea di principio, una migliore o peggiore periodicità di un fenomeno e dovremmo allora poggiare la nostra scelta su altri fattori.  Nella pratica scientifica viene scelto quale fenomeno periodico di riferimento, sul quale basare la misura del tempo, quello che rende più semplice la forma del. le leggi fisiche dipendenti dal tempo.  La comprensione di questo punto può rappresentare, sul piano della pedagogia delle scienze, un fatto di importanza in quanto esso pone completamente a nudo la caratteristica di provvisorietà delle leggi fisiche.

 

Classificazione, comparazione e misurazione

Da quanto precede risulta che la tematica in discussione non è, nella realtà così semplice come a prima vista può apparire, ma investe concetti delicati relativi alle basi della metodologia.  Risulta ancora abbondantemente come la misura sia un fatto inventato da noi e non esistente in natura.  Le convenzioni che noi poniamo per eseguirle ne sono la prova.  Questo lavoro, di cui ci siamo caricati, rappresenta però un investimento ad alto reddito perché la possibilità di rappresentare le proprietà in modo quantitativo ci permette di formulare leggi quantitative che ci consentono poi di far previsioni quantitative ed anche di prevedere fenomeni nuovi  Non è necessario insistere sul fatto che anche un ricchissimo linguaggio qualitativo non avrebbe in nessun caso consentito lo sviluppo della scienza nella sua forma attuale.  Può essere interessante chiedersi a questo punto se tutto è misurabile; la risposta è positiva, purché vengano applicate le opportune convenzioni per le misure delle va rie proprietà.  Il discorso si sposta allora nel chiedersi se il termine “tutto” può identificarsi con un certo, finito numero di proprietà.  Nella realtà, noi misuriamo alcune proprietà di un certo ente e ne definiamo il comportamento basandoci sulla valutazione di questa proprietà, riduciamo cioè lo ente ad un numero limitato di sue proprietà che misuriamo e che abbia mo scelto per precisi fini utilitaristici.

 

La realtà misurata è quindi una descrizione assai precisa di certi particolari aspetti estratti dall’ente nella sua globalità.  Da queste considerazioni sorge immediatamente il concetto di modello.  Se d’altra parte gli oggetti o gli eventi non sono misurabili né comparabili nella loro globalità, ma solo nelle loro singole proprietà, essi sono classificabili.  Per far ciò dobbiamo costruire classi la cui ampiezza è legata allo scopo della classificazione; al diminuire dell’ampiezza aumenta il potere risolutivo della classificazione aumenta cioè la sua capacità di fornirci il dettaglio; ciò però a scapito di quello che possiamo chiamare la “visione globale”.

Si giunge in definitiva alla conclusione che la scienza, tramite i suoi metodi di valutazione e classificazione fornisce mappe della realtà che sono di essa una rappresentazione che è tanto più fede le quanto più dettagliata; ma quanto più esse sono dettagliate tanto più sono ristrette.  Siamo nella stessa situazione delle carte geografiche (o mappe del territorio) che più sono dettagliate più si riferiscono a zone ristrette.  Ciò ci deve fare allora meditare sul fatto che una mappa non è in alcun caso identificabile con il territorio che essa rappresenta e che una identificazione di questo tipo condurrebbe a grossolani e gravi errori nel riconoscimento e nella lettura della realtà.

 

Bibliografia

1. R. Carnap, Philosophical foundations of physics, Basic Books, 1966.  (trad. Italiana: I fondamenti filosofici della fisica, Il Saggiatore, 1971).

 

 

Pubblicato originariamente su La Chimica nella Scuola, 1979, 1 (1), 11-21.  Riprodotto con l’autorizzazione del Prof. Pierluigi Riani, direttore di CnS.