Keplero e le sue leggi

 

Maurizio Artoni

 

Tra gli innumerevoli argomenti che l’insegnante di Scienze Naturali si trova a dovere trattare ci sono le leggi di Keplero che, nella maggior parte dei manuali di “geografia astronomica”, vengono liquidate in poche righe, e non sempre in modo corretto.  Probabilmente non sono considerate argomento abbastanza importante da richiedere un adeguato approfondimento.  Al contrario, uno studio più accurato, soprattutto del loro divenire temporale, costituirebbe un buon esempio di come può procedere la scoperta scientifica e potrebbe fornire utili spunti di discussione e di riflessione su argomenti che trascendono di gran lunga le nozioni di astronomia.  Le leggi di Keplero, così come le conosciamo, hanno una loro apparente successione logica: la seconda sembrerebbe inspiegabile senza la prima.  In realtà la sequenza temporale con la quale esse furono scoperte è esattamente rovesciata: prima venne scoperta la cosiddetta “legge delle aree” e solo in seguito quella delle ‘orbite ellittiche”.  La sequenza a noi nota è il risultato delle rielaborazioni compiute dallo stesso Keplero e, in seguito, da Newton.  Non si tratta di una semplice curiosità storica: è un esempio di come sui manuali giunga soltanto il “distillato” di lavori in realtà molto complessi, faticosi, spesso frustranti.  Non potrebbe essere diversamente.  È improponibile una minuziosa ricostruzione della storia di tutti i princìpi, le leggi ecc., che vengono trattati in ambito scolastico.

 

Fig. 1. I solidi platonici: cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro, e ottaedro, e la loro collocazione fra le sfere celesti: la sfera di Saturno circoscrive il cubo, la sfera di Giove vi è inscritta e, a sua volta, circoscrive il tetraedro, e così via.

 

Tuttavia alcuni esempi emblematici possono costituire un utile strumento di approfondimento culturale che trascende di gran lunga lo specifico ambito disciplinare ed assume un valore formativo più ampio.  Anche da questo punto di vista, la storia delle leggi di Keplero mi sembra degna di considerazione.  Una particolare “tensione filosofica” guidò Keplero per tutta la vita: un profondo neoplatonismo.  Secondo Keplero la matematica fa realmente parte della natura ed è l’unico mezzo in grado di spiegarla.  Sulla linea di questa concezione dell’universo individuò una precisa relazione fra la reciproca distanza delle orbite dei pianeti ed i poliedri regolari (Fig. l)  Era, questo, il segno inconfondibile della presenza nel mondo fisico di una armonia tanto profonda da potere essere espressa in termini geometrici.  Fin dal primo scritto, il Mysterium Cosmographicum (1596), Keplero richiama l’attenzione di Galileo e di Tycho Brahe al punto che quest’ultimo gli offre un posto di assistente nel proprio osservatorio.  Nel Mysterium Cosmographycum Keplero esprime la propria concezione relativa al Sole quale sede fisica di una anima motrix che guida i pianeti nelle loro orbite di rivoluzione con forza inversamente proporzionale alla distanza Sole-pianeta (Fig. 2), la cosidetta legge delle distanze.

 

Fig. 2. La diversa densità dei raggi visualizza la diversa intensità della anima motrix in funzione della distanza Sole-Pianeta.

 

Questa idea, ancora primitiva e in formazione, mostra come stesse maturando in Keplero un problema del tutto nuovo rispetto ai suoi predecessori: la ricerca delle cause fisiche del moto dei pianeti.  Si chiede Keplero: “Se il Sole è l’origine e la fonte dei moti planetari, in che modo questo fatto si manifesta nei moti dei pianeti stessi?”  Non sfugge come questo genere di problema, assieme alle leggi che in seguito verranno scoperte, costituisca la base sulla quale Newton costruirà la propria legge di gravitazione universale.  Nel 1600 Brahe affida a Keplero il compito di studiare l’orbita di Marte con la maggiore cura possibile.  Marte è un Pianeta la cui orbita eccentrica e la relativa vicinanza generano irregolarità sulle quali si era arenato il lavoro di molti astronomi.  Lo stesso Brahe non era riuscito a concludere nulla di positivo e Keplero riuscirà a conseguire qualche risultato soddisfacente dopo un lavoro durato quasi dieci anni.  Keplero capisce che una soluzione al problema assegnatogli può venire da uno studio dei dati, estremamente accurati, raccolti dal Maestro nel corso di osservazioni astronomiche durate più di trent’anni.  Brahe era stato infatti il più grande osservatore del cielo ad occhio nudo.  Dopo innumerevoli tentativi compiuti per trovare un accordo fra le sue costruzioni geometriche e i dati di Brahe, Keplero concluse che:

 

1) non esisteva alcun punto attorno al quale il moto di Marte fosse uniforme;

2) nessun sistema basato sulla combinazione di circoli poteva conciliare i suoi calcoli con le osservazioni di Brahe; fra le due serie di dati risultava un disaccordo di 8 minuti d'arco, inaccettabile per Keplero.

 

Keplero comprese allora che era necessario, in via preliminare, determinare accuratamente la forma dell’orbita terrestre, ancora poco conosciuta, in quanto sede di osservazione del moto degli altri pianeti.  Era già noto agli astronomi che la Terra descrive un’orbita eccentrica rispetto al Sole.  Ciò significa, come rappresentato in Fig. 3, che la posizione del Sole, sebbene al centro del Sistema, non coincide necessariamente con il suo centro geometrico.

 

 

Fig. 3 Orbita eccentrica. O è il centro della circonferenza descritta dal pianeta attorno al Sole; S è la posizione del Sole. I Pianeti possono ruotare attorno al Sole senza che questo sia il centro geometrico del sistema.

 

A questo dato Keplero aggiunge alcune osservazioni fondamentali.  La prima è la seguente: la Terra si muove più rapidamente in vicinanza del Sole e meno rapidamente quando se ne allontana. Keplero scopre quindi anche per la Terra un moto non uniforme ed individua una conferma, a livello fisico, dell’intuizione che aveva già espresso con la legge delle distanze. L'anima motrix del Sole non è una pura invenzione ma manifesta effettivamente la propria azione sui pianeti.  Dovremo attendere Newton per avere una formalizzazione rigorosa di quanto osservato da Keplero.  La seconda osservazione è la seguente: La Terra descrive un’orbita quasi circolare e le aree spazzate dalla congiungente il Sole con il pianeta in tempi uguali risultano essere equivalenti.  Nella Fig.3 gli archi AB e CD delimitano, con i rispettivi raggi, due aree equivalenti; se gli archi AB e CD sono stati percorsi nello stesso tempo, poiché l’arco AB è maggiore dell’arco CD, nel tratto AB la Terra si muove più velocemente che nel tratto CD.  In altre parole Keplero ricava dallo studio dell’orbita terrestre elementi sufficienti per formulare la seconda legge prima di avere determinato la forma ellittica delle orbite planetarie.  La legge delle aree può venire così enunciata: “La congiungente un Pianeta con il Sole spazza aree proporzionali agli intervalli di tempo considerati”.  Keplero, a questo punto della sua ricerca, nutre già alcuni dubbi sulla perfetta circolarità delle orbite planetarie.

 

Ciò che mi sembra comunque interessante, e che non emerge da una lettura affrettata e “tradizionale” del lavoro di Keplero, è che un'orbita circolare eccentrica, associata ad una velocità di rivoluzione del Pianeta che varia in funzione inversa rispetto alla distanza dal Sole, è sufficiente per giustificare una prima formulazione, seppure approssimata, della seconda legge di Keplero senza dovere necessariamente ricorrere ad orbite ellittiche.  Solo in un secondo tempo, in seguito ad una analisi più accurata dei dati ottenuti, Keplero concluderà che l’orbita dei pianeti non è una circonferenza perfetta.  Rispetto all’enunciazione della seconda legge occorre segnalare l’errore concettuale presente nella maggior parte dei manuali nei quali si parla quasi sempre “aree uguali”.  Ora, si dà il caso che due aree uguali siano sovrapponibili per definizione, mentre è chiaro che, sia nel caso di orbite circolari eccentriche che di orbite ellittiche, non avremo aree uguali ma equivalenti, aventi cioè lo stesso valore di superficie senza essere per questo sovrapponibili.  Dopo la definizione dell’orbita della Terra, Keplero tornò alle investigazioni su Marte da una posizione molto più sicura, avendo ottenuto dati molto precisi sul moto del nostro pianeta.  Come si è detto, Keplero non considerava più le orbite planetarie perfettamente circolari.  Nell’ottobre del 1602 si esprime in questi termini: “È immediato concludere che la traiettoria del pianeta non è una circonferenza poiché si può notare l’esistenza di due tratti poco incurvati contrapposti,  separati da due tratti molto incurvati anch’essi contrapposti.  Una simile curva viene comunemente indicata con il nome di ovale.”  Keplero impiegherà ancora tre anni per stabilire che si tratta di un’ellisse.

 

Alla fine scrive: “Afflitto da dubbi tormentosi, pur meditando e riconsiderando le cose fin quasi alla pazzia non ero riuscito a capire perché il pianeta ... preferisse piuttosto seguire una via ellittica, come indicavano le equazioni.”  Alla fine Keplero dovrà “inchinarsi” alla “verità” delle equazioni.  Solo un’ellisse lungo la quale i pianeti si muovono con velocità variabile, con il Sole in uno dei fuochi, era in accordo con i dati dell’osservazione.  Si trattava di “cambiare paradigma”, di rompere con una tradizione millenaria sostenuta dai filosofi e dagli astronomi.  L’ellissi è una figura molto meno armoniosa e perfetta della circonferenza.  Non deve essere stato facile per Keplero, neoplatonico “radicale”, abbandonare “il dogma” della circolarità delle orbite.  La legge delle orbite ellittiche ci è nota come “prima legge di Keplero” e viene così formulata: “I pianeti si muovono su orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi”.  Quando alla legge del moto uniforme attorno ad un punto si sostituisce la legge delle superfici e quando alle orbite circolari si sostituiscono le ellissi, viene meno il bisogno di espedienti geometrici ad hoc.  Per la prima volta una singola curva ed una singola legge di moto sono sufficienti per prevedere la posizione dei Pianeti e per la prima volta queste previsioni risultano precise quanto le osservazioni.

 

La domanda perché le orbite sono ellittiche rimarrà senza risposta fino a quando Newton, quasi ottant’anni dopo, mostrerà che esse derivano da una legge più generale.  Ma Newton implica Keplero; anzi, possiamo pensare ad una sorta di “filo rosso” che, unisce Copernico, Brahe, Keplero, Galileo, Newton e che, nell’arco di 150 anni, porterà a soluzione definitiva l’opera, rivoluzionaria suo malgrado, iniziata da Copernico.  L’opera di Keplero nella quale vengono enunciate le prime due leggi e vengono ricostruiti i percorsi sia osservativi che mentali, ed i problemi incontrati nel corso del lavoro, è l’Astronomia Nova, pubblicata nel 1609 sebbene il lavoro fosse stato completato quattro anni prima.  Un discorso a parte merita la terza legge.  Le prime due leggi non avevano messo in evidenza alcuna relazione tra i moti dei Pianeti: sembrava che ciascuno si muovesse in modo indipendente rispetto a tutti gli altri.  Ma era convinzione di Keplero che compito dell’astronomo non fosse quello di studiare l’universo pezzo per pezzo ma, studiandolo ed interpretandolo come un tutto unico, dimostrare che i fenomeni di ciascuna parte sono conformi ad un unico disegno.  La sua ricerca non era compiuta.  Alla fine scriverà: “... dopo un indefesso lavoro durato lungo tempo ... ho scoperto il vero legame ... che è scaturito tumultuosamente dalle tenebre della mia mente, e si è manifestato con un accordo così completo tra i miei studi durati 17 anni e le osservazioni di Tycho, che all’inizio credetti di sognare.." .

 

La terza legge lega i periodi dei Pianeti, cioè i tempi impiegati per descrivere una intera orbita attorno al Sole, alle loro distanze medie dal Sole.  Keplero la enuncia così: "... la proporzione tra i tempi periodici di due pianeti scelti a piacere è esattamente come la potenza di 3/2 della proporzione tra le loro distanze medie, e cioè fra le loro stesse orbite”.  La definizione che comunemente viene riportata sui manuali è la seguente: il rapporto dei quadrati dei periodi di rivoluzione di due pianeti qualsiasi è uguale al rapporto dei cubi delle loro distanze medie dal Sole.  La terza legge verrà pubblicata nel 1619 nell’Armonices Mundi.  Il titolo dell’opera tradisce il significato che Keplero intende attribuire alla sua scoperta.  Nel Misterium Cosmograficum, del 1596, le posizioni reciproche dei Pianeti erano state ricondotte ai rapporti geometrici esistenti fra i poliedri regolari;  nell’Armonices Mundi, del 1619, a distanza di più di vent’anni, Keplero non smentisce le proprie convinzioni neoplatoniche e individua tra i Pianeti rapporti non solo di tipo geometrico ma anche armonico: nelle velocità dei pianeti appaiono consonanze musicali, la vera musica delle sfere celesti.

 

Le tre leggi di Keplero emergono da un contesto che è davvero difficile qualificare come “moderno”.  Convivono in Keplero misticismo dei numeri e passione per l’osservazione, abilità nella costruzione di oroscopi e ricerca dell’origine fisica del movimento dei corpi celesti.  Uno dei suoi meriti fu di dimostrare che matematica, misurazione e principi fisici potevano costituire un’unica sintesi.  I filosofi naturali non potevano continuare ad ignorare che la sfida doveva essere condotta su due piani: della dimostrazione matematica e dell’osservazione.  In questo senso, Keplero è da considerare uno dei fondatori della scienza moderna.  Le sue leggi verranno assunte come realmente scientifiche solo dopo che Newton se ne sarà servito per elaborare le proprie teorie, e verranno prese in considerazione dalla maggioranza degli astronomi matematici solo nel corso degli anni ’60 del 1600.

 

Bibliografia

The Project Physics Course, Zanichelli, 1970

T.S. Kuhn, la Rivoluzione Copernicana, P.B.E. Einaudi, 1972; Dizionario di storia della scienza Theoria, 1984

Storia della scienza, UTET, 1988

A. Rupert Hall, La rivoluzione nella scienza 1500-1750, Feltrinelli, 1986

 

 

Pubblicato originariamente su Naturalmente, 1993, 6 (3), 23-25.